La version finale, soutenue le 13 Décembre 2004 à l’I.N.P.L. de Nancy.
Titre : Formulation thermodynamique de lois de comportement hors - équilibre : groupes de symétries
continues issus d’une approche lagrangienne irréversible.
Résumé : L’objet principal de ce travail est une exploration des extensions possibles du formalisme de
Lagrange à la mécanique des milieux continus dissipatifs. Ce premier objectif conduit à la recherche
concommittante des symétries variationnelles et locales associées au principe de la moindre action
ainsi construit. Le cadre thermodynamique choisi pour l’écriture des lois de comportement est celui de
la thermomécanique de la relaxation, qui prend en compte des variables internes de microstructure et les
cinétiques qui en fixent les lois d’évolution. On montre que l’auto-adjonction (condition nécessaire et
suffisante d’existence d’un lagrangien) du jeu d’équations thermodynamiques qui décrit le comportement
peut être assurée par une généralisation de la relation d’Euler aux situations de non équilibre. Cette
généralisation est conforme aux fondements d’une approche thermodynamique de la relaxation baptisée D.N.L.R..
Les équations cinétiques régissant l’évolution des variables internes ont ensuite été intégrées dans le
lagrangien sous forme de contraintes. Le deuxième volet exploré dans ce mémoire concerne l’étude des
symétries des équations de comportement. Deux voies complémentaires sont explorées : une méthode de calcul
des symétries variationnelles d’une loi de comportement supposée connue a été élaborée. Cette étude met
en évidence une symétrie particulière dans le cas d’une approche D.N.L.R. simplifiée, qui se traduit par un
principe d’équivalence en temps - température. Dans une seconde étape, nous mettons en place une stratégie
de modélisation du comportement qui s’appuie sur la construction de courbes maîtresses expérimentales.
L’existence de ces dernières est décrite mathématiquement par un groupe de Lie, qui permet a priori de
dégager une structure de loi de comportement. Cette démarche a été mise en oeuvre pour un matériau de
type colle, sollicité de façon dynamique.
Mots-clés : Thermodynamique de la relaxation, formalisme lagrangien, irréversibilité, groupes de Lie,
symétries, principe d’équivalence temps - température, courbes maîtresses.
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Voici une synthèse succincte de l’approche D.N.L.R. (Distribution of Non-Linear Relaxations)
qui est une approche thermodynamique de la relaxation sur laquelle j’ai travaillé pendant
ma thèse et mes deux années d’A.T.E.R..
Résumé : L’approche D.N.L.R. repose sur l’hypothèse clé que la relation fondamentale de Gibbs
sur l’énergie interne E est valide pour des situations hors-équilibre thermodynamique. Conformément
à l’axiomatique de Callen, l’énergie interne E est supposée extensive vis à vis de ses arguments,
qui sont ici la déformation pondérée du volume V ε, l’entropie S, et des variables internes
de microstructure Z={Zk}. Les “intensités” (duales des précédentes “extensités”), i.e.
la contrainte σ, la température T et l’opposé des forces de non équilibre −Ak, sont définies
comme étant les dérivées partielles de l’énergie interne E. Dans le cas où on contrôle
les extensités, les équations d’évolutions sont obtenues par dérivation totale des
intensités par rapport au temps. On modélise enfin les cinétiques des variables internes par
des cinétiques non linéaires d’ordre 1 :
|
qui permettent d’écrire la réponse dissipative des intensités. La forme du spectre des relaxations τk
est obtenu à partir du théorème de l’équirépartition de l’entropie et de considérations microscopiques.
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Une synthèse succincte sur les groupes de symétries continues à un ou plusieurs
paramètre(s).
Résumé : Les groupes de symétries continues sont des applications
continues paramétrées par un paramètre µ , et qui transforment
un jeu de variables x={xi} en un autre jeu de variables x={xi} :
| x=G(x,µ) |
La fonction G est assujettie aux trois axiomes d’existence d’un élément neutre, d’inversion, et de composition. La géométrie différentielle permet ensuite d’associer à ces groupes des champs de vecteurs sur la variété engendrée par les variables xi :
| v= |
| φi |
|
Ces champs de vecteurs sont d’un intérêt fondamental dans le calcul des symétries d’une expression Δ(x) , puisque la condition d’invariance de Δ par rapport au groupe de transformation se traduit par :
| v Δ=0 |
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La version 4.0 de mon poly de cours de Résistance des Matériaux & Théorie des Poutres, dispensé aux étudiants de première année
de l’Ecole Nationale Supérieure de Géologie.
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